Les fonctions convexes et concaves
Les fonctions convexes et concaves sont des concepts mathématiques importants qui ont des applications dans divers domaines, tels que l'économie, les sciences physiques et la géométrie.
Définitions
Une fonction f(x) est dite convexe sur un intervalle I si elle vérifie la propriété suivante :
- Pour tout x1 et x2 dans I, et tout t compris entre 0 et 1, on a : f(tx1 + (1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2).
Cette propriété peut être interprétée géométriquement comme suit : le graphe de la fonction f(x) ne se situe jamais en dessous de la corde reliant les points de coordonnées (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)).
A l'inverse, une fonction f(x) est dite concave sur l'intervalle I si elle vérifie la propriété suivante :
- Pour tout x1 et x2 dans I, et tout t compris entre 0 et 1, on a : f(tx1 + (1-t)x2) ≥ tf(x1) + (1-t)f(x2).
Cette propriété peut être interprétée géométriquement comme suit : le graphe de la fonction f(x) ne se situe jamais au-dessus de la corde reliant les points de coordonnées (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)).
Propriétés
Voici quelques propriétés des fonctions convexes et concaves :
- Si f(x) est convexe sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.
- Si f(x) est concave sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.
- Si f(x) est convexe sur un intervalle I, alors sa dérivée f '(x) est croissante sur I.
- Si f(x) est concave sur un intervalle I, alors sa dérivée f '(x) est décroissante sur I.
Exemples
Voici quelques exemples pour illustrer les notions de fonctions convexes et concaves :
- La fonction f(x) = x² est convexe sur l'intervalle [-∞, +∞], car f''(x) = 2 ≥ 0 pour tout x.
- La fonction f(x) = -x² est concave sur l'intervalle [-∞, +∞], car f''(x) = -2 ≤ 0 pour tout x.
- La fonction f(x) = e^x est convexe sur l'intervalle [-∞, +∞], car f''(x) = e^x ≥ 0 pour tout x.
- La fonction f(x) = ln(x) est concave sur l'intervalle ]0, +∞[, car f''(x) = -1/x² ≤ 0 pour tout x > 0.
Applications
Les fonctions convexes et concaves ont des applications dans divers domaines. En voici quelques exemples :
- En économie, les fonctions convexes sont utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la maximisation du profit ou la minimisation du coût.
- En sciences physiques, les fonctions convexes et concaves sont utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la diffraction de la lumière ou la déformation élastique des matériaux.
- En géométrie, les fonctions convexes et concaves sont utilisées pour décrire la courbure d'une surface.
La règle concave-convexe
La règle concave-convexe décrit le schéma arthrokinésique qui minimise la migration inhérente du centre du membre convexe dans la direction du membre concave, dans une articulation. Cette règle est utilisée en physiothérapie pour guider le mouvement lors de la rééducation d'une articulation.
La règle peut être résumée comme suit :
- Lorsqu'une surface concave bouge par rapport à une surface convexe, la surface concave se déplace dans la direction opposée au mouvement.
- Lorsqu'une surface convexe bouge par rapport à une surface concave, la surface convexe se déplace dans la même direction que le mouvement.
Cette règle est importante en physiothérapie car elle permet de minimiser le stress sur les tissus mous lors de la rééducation d'une articulation.
Conclusion
Les fonctions convexes et concaves sont des concepts mathématiques importants qui ont des applications dans divers domaines. Elles permettent de modéliser des phénomènes complexes et de décrire la courbure d'une surface. La règle concave-convexe est utilisée en physiothérapie pour guider le mouvement lors de la rééducation d'une articulation.
Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle - Maxicours
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fr.wikiversity.org/wiki/Fon...La concavité et la convexité sont des termes mathématiques qui ont une signification précise. La concavité est définie comme la courbure d'une surface vers l'intérieur. La convexité désigne la courbure d'une surface vers l'extérieur. Ces schémas sont couramment utilisés en géométrie, en physique et dans d'autres disciplines qui étudient les formes et leurs propriétés.
Des exemples de concavité et de convexité peuvent être trouvés dans la nature et dans le quotidien. La forme d'une coquille d'œuf est convexe. La forme de la lune est concave. Les chaudrons et les tasses possèdent des surfaces internes concaves. Des objets comme des balles et des sphères peuvent être à la fois convexes et concaves.
Les schémas de concavité et de convexité peuvent également être appliqués à des lignes et à des plans. Une ligne convexe est courbée vers l'extérieur alors que l'opposé est vrai pour une ligne concave. Les plans peuvent également être convexes et concaves. Par exemple, le plan d'une table ronde est courbé vers l'extérieur alors que les coins sont concaves.
Le concept de concavité et de convexité est également appliqué à des graphes mathématiques. Les graphes convexes et concaves sont des outils importants qui peuvent aider à mieux comprendre et visualiser certaines informations.
Lorsque j'étais étudiant en mathématiques, j'ai appris à reconnaître les schémas de concavité et de convexité et à les appliquer à différents graphiques et surface . Cela a contribué à améliorer mes ...